Masterclass d'analyse

Cours

Thèmes traités en cours :

• Théorème de Knaster-Tarski (sur le treillis des parties d'un ensemble) et application au théorème de Cantor-Bernstein
• Rappels sur les suites : suites adjacentes, théorème de Bolzano-Weierstrass
• Théorème de Cesaro et application au calcul d'équivalents pour les suites récurrentes

• Séries à termes positifs
• Comparaison série-intégrale
• Séries géométriques et séries de Riemann
• Critères de Riemann et de d'Alembert
• Convergence absolue
• Séries alternées, critère spécial
• Théorèmes de sommation des équivalents pour des séries à termes positifs

• Ensembles et dénombrables
• Théorème de Cantor. R n'est pas dénombrable
• Droite réelle achevée, opérations dans R barre
• Familles sommables de réels positifs. Sommation par paquets. Théorème de Fubini positif.

• Espaces affines. Ensembles convexes.
• Fonctions convexes d'une variable réelle. Interprétation géométrique sur le graphe.
• Inégalité des pentes et croissance des taux d'accroissements.
• Position relative des tangentes. Fonctions convexes dérivables et deux fois dérivables.

• Convergence simple et uniforme. Limite d'une suite de fonctions, norme infinie.
• Théorèmes d'inversion limite-limite, limite-intégrale, limite-dérivée
• Convergence normale d'une série de fonctions
• Approximation uniforme: théorème de Weierstrass et fonctions en escalier

• Séries entières, rayon de convergence. Règle de d'Alembert
• Opérations sur les séries entières: opérations algébriques, intégration et dérivation
• Produit de Cauchy, fonction exponentielle
• Unicité des coefficients, utilisation "formelle" des séries entières pour faire des calculs
• Développements en série entières usuels

• Intégrales convergentes
• Fonctions intégrables
• Convergence dominée et intégrales à paramètres

TD

Homework

• À faire pour lundi 18/05 : exercices 1, 2, 3, 4, 5, 6
• À faire pour mardi 19/05 : exercices 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13.
• À faire pour mercredi 20/05 : exercices 14, 15, 16, 17 et 18.
  Exercice de cours sur les séries de Bertrand.
  Exercice bonus 18': nature de la série de terme général 1/n sans les n avec le chiffre 9
• À faire pour jeudi 21/05 : Exercices 19, 20, 21, 22, 23
• À faire pour samedi 23/05 : toute la feuille du samedi
• À faire pour mardi 26/05 : Exercices 25, 26, 27, 28, 29, 30 et questions 1 à 21 et 33 du DM
• À faire pour mercredi 27/05 : Exercices 31, 32, 33, 34, 35
• À faire pour jeudi 28/05 : Exercices 36, 37, 38, 39, 40
• À faire pour vendredi 29/05 : Exercices 41, 42, 43, 44

• Théorème de sommation des équivalents pour les séries à termes positifs dans le cas divergent
• Critère spécial des séries alternées
• Théorème de Cantor: aucune surjection de E dans P(E)
• Inégalité de Jensen (par la méthode de votre choix)
• Théorème de Weierstrass (densité des polynômes)
• Théorème d'Abel radial

Feuilles d'exercices :

• Feuille d'exercices n^o 1
• Feuille d'exercices n^o 2
• Exercices du samedi

Devoirs maisons :

• Devoir maison n^o 1
  Ne pas traiter les questions 22 à 34, sauf la question 33.